De Rham Cohomology I

集合

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开集

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$\mathbb{R}$的子集$U$称为开集, 如果它内部的每一点都能被一个完全落在$U$内的开区间包住:

抽象代数

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线性映射

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设$V, W$是同一域$\mathbb{F}$上的向量空间. 映射$\varphi: V \to W$称为线性映射, 如果保持加法与数乘:

同构

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同态

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映射$\varphi: G \to H$称为同态(homomorphism), 如果保持运算:

由此自动得$\varphi(e_G) = e_H$, $\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$.

同构

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同态$\varphi: G \to H$称为同构(isomorphism), 如果它是双射. 此时存在逆同态$\varphi^{-1}: H \to G$, 满足$\varphi^{-1} \circ \varphi = \operatorname{id}_G$, $\varphi \circ \varphi^{-1} = \operatorname{id}_H$. 记作$G \cong H$.

直观上, $G \cong H$意味着两个群作为代数结构完全相同, 仅元素的标签不同.

示例

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• $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$: $[x] \mapsto e^{2\pi i x}$是同构
• $(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$: $x \mapsto e^x$将加法变成乘法
• $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$(中国剩余定理)

商群

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商群是把群$G$按某个正规子群$N$粘合得到的新群.

正规子群

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子群$N \leq G$称为正规子群, 记作$N \triangleleft G$, 如果:

等价地, 左陪集等于右陪集: $gN = Ng$. Abel群里每个子群自动正规, 此条件只在非交换群中非平凡.

核与像

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设$\varphi: G \to H$是群同态.

核是映射到$H$的单位元$e_H$的元素全体:

像是$\varphi$实际产出的元素全体:

由同态条件易得$\operatorname{Ker}\varphi$是$G$的正规子群, $\operatorname{Im}\varphi$是$H$的子群.

商群

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元素$g \in G$对应陪集$gN$, 商群是所有陪集的集合:

群运算定义为:

运算良定义要求$N$正规: 设$g_1' = g_1 n_1$, $g_2' = g_2 n_2$, 则

需要$g_2^{-1} N g_2 \subseteq N$, 这正是正规性的来源.

第一同构定理

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群同态$\varphi: G \to H$满足:

证明: 记$K = \operatorname{Ker}\varphi$, 定义

• 良定义: $[g_1] = [g_2] \iff g_2 = g_1 k,\ k \in K \iff \varphi(g_1) = \varphi(g_2)$
• 同态: $\overline\varphi([g_1][g_2]) = \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1) \varphi(g_2) = \overline\varphi([g_1]) \overline\varphi([g_2])$
• 单射: $\overline\varphi([g_1]) = \overline\varphi([g_2]) \Rightarrow \varphi(g_1) = \varphi(g_2) \Rightarrow [g_1] = [g_2]$
• 满射: $h = \varphi(g) = \overline\varphi([g])$

故$\overline\varphi$是群同构.

示例

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• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$: 模$n$的整数加法群
• $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$: 实数粘合整数, 得到圆周
• $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \cong S^1$: 角度空间

商环

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商环是把环$R$按某个理想$I$粘合得到的新环, 思想与商群一致, 但需要更强的子结构.

理想

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子集$I \subseteq R$称为(双边)理想, 如果:

1. $(I, +)$是$(R, +)$的子群
2. 吸收性: $\forall r \in R,\ a \in I$, 有$ra \in I$且$ar \in I$

例如$n\mathbb{Z} = \{nk : k \in \mathbb{Z}\}$是$\mathbb{Z}$的理想; $(x) = \{x p(x) : p \in \mathbb{R}[x]\}$是$\mathbb{R}[x]$的理想.

商环

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商环是所有陪集的集合:

加法和乘法定义为:

乘法良定义要求$I$是理想: 设$a' = a + i$, $b' = b + j$, 则

第一同构定理

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环同态$\varphi: R \to S$满足:

证明: 记$I = \operatorname{Ker}\varphi$, 它是$R$的理想, 定义

• 良定义: $[a_1] = [a_2] \iff a_1 - a_2 \in I \iff \varphi(a_1) = \varphi(a_2)$
• 保加法: $\overline\varphi([a_1] + [a_2]) = \varphi(a_1 + a_2) = \varphi(a_1) + \varphi(a_2)$
• 保乘法: $\overline\varphi([a_1] [a_2]) = \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1) \varphi(a_2)$
• 单射: $\overline\varphi([a_1]) = \overline\varphi([a_2]) \Rightarrow \varphi(a_1) = \varphi(a_2) \Rightarrow [a_1] = [a_2]$
• 满射: $h = \varphi(a) = \overline\varphi([a])$

故$\overline\varphi$是环同构.

示例

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• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$: 模$n$的整数环, 当$n$为素数时是域
• $\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}$: 添加关系$x^2 = -1$, $[x]$扮演$i$
• $\mathbb{R}[x]/(x - a) \cong \mathbb{R}$: 对应"在$x = a$处求值"
• $C^\infty(U)/I_p \cong \mathbb{R}$, 其中$I_p = \{f : f(p) = 0\}$: 把函数代换成它在$p$处的值

微积分

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设$U \subseteq \mathbb{R}^3$是开集.

梯度

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光滑函数$f \in C^\infty(U)$的梯度(gradient)是向量场:

散度

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光滑向量场$F = (f_1, f_2, f_3) \in C^\infty(U, \mathbb{R}^3)$的散度(divergence)是标量函数:

旋度

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光滑向量场$F = (f_1, f_2, f_3) \in C^\infty(U, \mathbb{R}^3)$的旋度:

形式上写作行列式:

Stokes公式

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设$\Sigma \subset \mathbb{R}^3$是带边光滑有向曲面, 单位法向量为$\mathbf{n}$, 边界$\partial\Sigma$按右手定则取向, 则对光滑向量场$F$有

证明: 思路是先把$\Sigma$切成许多小曲面片, 在每片上验证公式, 再把所有片的等式拼成全局.

把$\Sigma$剖分为充分小的曲面片$\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n$. 曲面积分天然可加, 公式左侧拆为

若能在每片上验证局部 Stokes

把所有片的等式相加, 右侧每条内部公共边(同时属于两片的边界)在$\partial\Sigma_i, \partial\Sigma_j$中各贡献一次、走向相反, 求和后相消; 不被任何其他片共享的外部边恰好拼成原边界$\partial\Sigma$. 于是问题归约为在每片上证局部 Stokes.

取小片充分细时, 每片可近似为其切平面内的小矩形, 误差为面积的高阶无穷小, 极限下可视为相等. 故只需在该小矩形上验证公式.

选取$T$使$T\mathbf{n} = \mathbf{e}_3$(这样的$T$总存在), 则原切平面被旋转到$x_3 = 0$平面, 小矩形落入其中. 故不失一般性, 可在此标准位置上验证.

设旋转后的小矩形为$R = [a, b] \times [c, d]$. 此时$\mathbf{n} = \mathbf{e}_3$, $\mathrm{d}\sigma = \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2$, $\mathrm{d}x_3 = 0$沿$\partial R$, 故只剩$f_1 \mathrm{d}x_1 + f_2 \mathrm{d}x_2$. 沿$\partial R$逆时针:

对每项用Newton-Leibniz公式:

而$\operatorname{rot} F$的第三分量$\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} = \operatorname{rot} F \cdot \mathbf{e}_3$, 故等式成立.

上同调

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$U^\star \subseteq \mathbb{R}^2$

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叉积展开为(对任意$\mathbf{x}$):

$\operatorname{rot}$是对空间变量$\mathbf{x}$的偏导$\frac{\partial}{\partial x_j}$的组合, 而$\int_0^1 \cdots \mathrm{d}t$是对参数变量$t$的积分, 可交换次序:

直接计算给出:

以第一分量为例验证. 由链式法则, $f_i(t\mathbf{x})$对$x_j$求偏导等于对$tx_j$求偏导再乘以$t$: $\dfrac{\partial}{\partial x_j}\big[f_i(t\mathbf{x})\big] = t\dfrac{\partial f_i(t\mathbf{x})}{\partial (tx_j)}$. 由叉积展开, $F(t\mathbf{x}) \times t\mathbf{x}$的分量为$A_2 = t\big(f_3(t\mathbf{x}) x_1 - f_1(t\mathbf{x}) x_3\big)$, $A_3 = t\big(f_1(t\mathbf{x}) x_2 - f_2(t\mathbf{x}) x_1\big)$, 故

相减得$\operatorname{rot}$的第一分量

由$\operatorname{div} F = 0$知$\dfrac{\partial f_2(t\mathbf{x})}{\partial (tx_2)} + \dfrac{\partial f_3(t\mathbf{x})}{\partial (tx_3)} = -\dfrac{\partial f_1(t\mathbf{x})}{\partial (tx_1)}$, 代入:

另一方面, 由链式法则$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f_1(t\mathbf{x}) = \sum_j \dfrac{\partial f_1(t\mathbf{x})}{\partial (tx_j)} x_j$, 可得两式相等:

代入可得:

故$F = \operatorname{rot} G \in \operatorname{Im}(\operatorname{rot})$. 由$F$任意, $\operatorname{Ker}(\operatorname{div}) \subseteq \operatorname{Im}(\operatorname{rot})$; 又$\operatorname{div} \circ \operatorname{rot} = 0$给出反向包含, 故$\operatorname{Ker}(\operatorname{div}) = \operatorname{Im}(\operatorname{rot})$, 即

$\mathbb{R}^3 \setminus \{x_3 = 0,\ x_1^2 + x_2^2 \geq 1\}$

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考虑$\mathbb{R}^3$中向量场, 易证$\operatorname{rot} F(\mathbf{x}) = 0$.

定义集合$V$

引入辅助变量

则$F$化为

设原函数形如$G = g(u, v)$, 由链式法则

与$F$比对得

根据链式法则

对$u$积分(把$v$视为常数):

对$v$求偏导匹配另一式:

得$C'(v) = 0$, $C$为常数, 故$v \neq 0$处

该表达在$v = 0$时分母奇异, 不能取值. 但$V$包含整个开圆盘$\{x_3 = 0,\ x_1^2 + x_2^2 < 1\}$(对应$v = 0$), 例如原点$O$. 需要把$g$替换为在$v = 0$处也良定义的等价表达.

用极坐标定义$x_3 = 0$平面上的$u, v$, 把$\theta$定义为$(u, v)$与负$u$轴的夹角(逆时针为正), 取值范围$(-\pi, \pi]$, 即

把它们当作$(r, \theta)$对$(u, v)$的隐函数, 两边同时对$u$求偏导得

两式分别乘$\sin\theta, \cos\theta$相减消去$\dfrac{\partial r}{\partial u}$:

对$v$同样处理得$\dfrac{\partial \theta}{\partial v} = -\dfrac{\cos\theta}{r} = \dfrac{u}{u^2+v^2}$. 恰为$\dfrac{\partial g}{\partial u}, \dfrac{\partial g}{\partial v}$, 故$g$与$\theta$只有常数项不同.

$\theta$只在两处不连续: 夹角无意义的原点$(u, v) = (0, 0)$, 对应单位圆$S$, 已被$V$排除; 夹角在$\pi$与$-\pi$之间跳变的正$u$轴$\{u > 0, v = 0\}$, 对应$\{x_3 = 0,\ x_1^2 + x_2^2 > 1\}$, 同样被排除. 故$\theta$在$V$上光滑.

用$\operatorname{atan2}$实现$\theta$, 此时$g(u, v)$中$C = -\dfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(v)$, 且$G(O) = \operatorname{atan2}(0, 1) = 0$.