本篇为对GRIS的补充, 证明ReSTIR GI复用蓄水池时使用的权重为无偏权重, 只证明时域复用后的第一次空域复用, 多次空域可由之推广得到, 不考虑样本不位于支撑集的情况.
令每个像素蓄水池原本的置信度\(M_i\), 限制上限后为\(M_i^’\), 权重和为\(w_i^\sigma\), 选中的样本的目标分布概率为\(\hat{p}_i(X_i)\), 无偏权重为\(W_i = \frac{w_i^\sigma}{\hat{p}_i(X_i)M_i}\). 选中的样本的序号为\(s\), \(J\)为Jacobi行列式, 随机选取\(N\)个像素, 合并蓄水池后的无偏权重如下, 与ReSTIR GI一致.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} W_s^r &= W_s J_s \frac{\sum_{i=0}^{N - 1} \frac{M_i^’}{M_i} w_i^\sigma J_i}{\frac{M_s^’}{M_s} w_s^\sigma J_s}\frac{M_s^’}{\sum_{i=0}^{N - 1}M_i^’}\\ &= \frac{w_s^\sigma}{\hat{p}_i(X_s)M_s} J_s \frac{\sum_{i=0}^{N - 1} \frac{M_i^’}{M_i} w_i^\sigma J_i}{\frac{M_s^’}{M_s} w_s^\sigma J_s}\frac{M_s^’}{\sum_{i=0}^{N - 1}M_i^’}\\ &= \frac{\sum_{i=0}^{N - 1} \frac{M_i^s}{M_s} w_i^\sigma J_i}{\hat{p}_i(X_s) \sum_{i=0}^{N - 1}M_i^’} \end{aligned} \end{equation} $$