Interview III: 项目分析

Virtual Position
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ReBLUR计算镜面反射虚拟位置使用高斯球面镜成像公式解出像距/物距.

\mathrm{mag} = \frac{1}{2 \cdot c \cdot O_z - 1}

整体光路如下: 主光线从像素打到着色点 $X=P$ , 再沿反射方向走 $\mathrm{hitDist}$ 命中物点 $O$ ; 把表面当作曲面镜, 用 $\mathrm{mag}$ 算出虚像 $X_{virt}$ , 沿视线方向摆放, 供时间重投影使用.

下面把表面局部视为曲率为 $c$ 的球面镜, 推导 $\mathrm{mag}$ .

设球面镜:

从物点 $O$ 发出一条光线, 在镜面上高度为 $h$ 的点 $M$ 处发生反射, 反射光线交光轴于像点 $I$ . 球面上任意一点的法线都通过球心 $C$ , 因此 $M$ 点处的法线方向为 $\overrightarrow{MC}$ .

定义三个相对光轴的夹角:

\alpha = \angle(OM,\ \text{axis}), \qquad \beta = \angle(MC,\ \text{axis}), \qquad \gamma = \angle(MI,\ \text{axis}).

在傍轴(paraxial)近似下, 角度很小且 $h$ 很小, 有:

\alpha \approx \frac{h}{d_o}, \qquad \beta \approx \frac{h}{R}, \qquad \gamma \approx \frac{h}{d_i}.

由反射定律和外角定理可得:

\beta - \alpha = \gamma - \beta \quad\Longrightarrow\quad 2\beta = \alpha + \gamma.

代入傍轴近似:

2 \cdot \frac{h}{R} = \frac{h}{d_o} + \frac{h}{d_i}.

约去 $h$ 得到Gaussian镜面方程, 可得焦距 $f = \frac{R}{2}$ :

\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{2}{R}

记曲率 $c = \dfrac{1}{R}$ , 物距 $d_o = O_z$ . 由镜面方程解像距:

\frac{1}{d_i} = \frac{2}{R} - \frac{1}{d_o} = 2c - \frac{1}{d_o} = \frac{2c\,d_o - 1}{d_o},

d_i = \frac{d_o}{2c\,d_o - 1}.

于是放大率即像距与物距之比为:

\mathrm{mag} = \frac{d_i}{d_o} = \frac{1}{2 \cdot c \cdot O_z - 1}

平面镜即 $R \to \infty$ , 亦即 $c = 0$ :

\mathrm{mag} = \frac{1}{0 - 1} = -1.